Avec une fonction auxiliaire

Soit `g`  la fonction définie sur l'intervalle \(\left[-5 \; ; \; 5\right]\)  par \(g(x)=\text e^x-x+1\) .

1. On admet que \(g\)  est dérivable sur l'intervalle \(\left[-5 \; ; \; 5\right]\)  et on note \(g'\)  sa fonction dérivée. Calculer \(g'(x)\) .

2. Étudier les variations de la fonction \(g\)  sur l'intervalle \(\left[-5 \; ; \; 5\right]\) .

3. Démontrer que \(g\)  est strictement positive sur \(\left[-5 \; ; \; 5\right]\) , c'est-à-dire que, pour tout  \(x\in\left[-5 \; ; \; 5\right], g(x)>0.\)

Soit \(f\)  la fonction définie sur \(\left[-5 \; ; \; 5\right]\)  par  \(f(x)=x +1+\dfrac{x}{\text e^x}\) .

On appelle \(\mathcal{C}_f\)  sa courbe représentative dans un repère du plan. On admet que \(f\)  est dérivable sur l'intervalle \(\left[-5 \; ; \; 5\right]\)  et on note \(f'\)  sa fonction dérivée.

4. Démontrer que, pour tout réel \(x\)  de  \(\left[-5 \; ; \; 5\right]\) ,  \(f'(x)=\dfrac{1}{\text e^x}\times g(x).\)  En déduire les variations de \(f\)  sur l'intervalle \(\left[-5 \; ; \; 5\right]\) .

5. Déterminer une équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\)  au point d'abscisse  \(0\) .